Radici n-esime di un numero complesso

Nella pagina "Numeri complessi e campo complesso" è stato introdotto il campo complesso e se ne sono discusse brevemente alcune proprietà, confrontandole con l’insieme dei numeri reali. In questa pagina si aggiunge un’ulteriore caratteristica che differenzia i due insiemi precedentemente nominati.

Nel campo reale l’operazione di radice può avere sostanzialmente tre esiti diversi:

• la radice pari di un numero negativo non esiste

• la radice pari di un numero non negativo ammette due soluzioni di segno opposto a patto che il numero sia diverso da zero, altrimenti la soluzione è unica (con molteplicità 2)

• la radice dispari di un qualsiasi numero ammette un’unica soluzione

Invece, nel campo complesso, la radice n-esima di qualsiasi numero ammette n radici, cioè n soluzioni, che possono essere calcolate facilmente usando la rappresentazione trigonometrica e la formula di De Moivre.

Calcolo delle radici di un numero complesso

Sia dato z ∈ ℂ numero complesso arbitrario e si vogliano trovare le soluzioni dell’operazione \(\sqrt[n]{z}\). Si ricordi che un numero w è radice n-esima di z se \(w^n = z\).

Usando la rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi è possibile scrivere 

 \( z = r(cos\phi + i sin\phi) \)

con r ∈ [0,+∞) e Φ ∈ [0,2𝜋) oppure Φ ∈ (-𝜋,𝜋]. Per quello che segue e anche negli esempi si assuma sempre Φ ∈ [0,2𝜋).

Nota: In caso il numero sia dato nella forma cartesiana e non si sappia come scriverlo nella forma sopra si può consultare la pagina Coordinate cartesiane e polari di un numero complesso. Per quanto riguarda un numero dato in forma esponenziale non ci sono particolari difficoltà dato che le coordinate (r,Φ) sono già note.

Si ricordi ora che la formula di De Moivre permette di calcolare la potenza n-esima di un numero complesso tramite la seguente formula:

\(z^n = r^n (cos(n\phi) + i sin(n\phi)) \)

formula che è estendibile da n ∈ ℕ a n ∈ ℚ e, ricordando che una radice \(\sqrt[m]{z}\) può essere vista come una potenza del tipo \(z^{\frac{1}{m}}\), si ha una formula per calcolare le radici complesse, o almeno così sembrerebbe:

\(z^{\frac{1}{m}} = r^{\frac{1}{m}} [cos(\frac{\phi}{m}) + i sin(\frac{\phi}{m})]\)

Tuttavia possiamo notare che la formula sopra non restituisce m-radici ma solamente una. La soluzione sta nel ricordare come, nel calcolo delle Potenze di un numero complesso, l’angolo Φ andasse "aggiustato" per rispettare il dominio scelto inizialmente, ad esempio Φ ∈ [0,2𝜋). In questo caso è necessario scrivere l’angolo Φ come:

\(\phi = \phi +2k\pi\)

con k ∈ ℤ. La formula corretta per il calcolo delle m-radici di un numero complesso è quindi la seguente:

\(z^{\frac{1}{m}} = r^{\frac{1}{m}} [cos(\frac{\phi+2\pi k}{m}) + i sin(\frac{\phi+2\pi k}{m})]\)

con m ∈ ℕ⁺, k ∈ ℤ

Dalla formula sopra, al variare di k si ottengono tutte le m-esime radici complesse di z, con periodicità dopo m valori di k: per comodità si prendano i valori k = 0, 1, …, m-1, si ha:

\begin{align*} \sqrt[m]{z} &\stackrel{\rm k=0}{=} \sqrt[m]{r} \left[cos\left(\frac{\phi}{m}\right) + i sin\left(\frac{\phi}{m}\right)\right];\\ \sqrt[m]{z} &\stackrel{\rm k=1}{=} \sqrt[m]{r} \left[cos\left(\frac{\phi+2\pi}{m}\right) + i sin\left(\frac{\phi+2\pi}{m}\right)\right];\\ \vdots\\ \sqrt[m]{z} &\stackrel{\rm k=m-1}{=} \sqrt[m]{r} \left[cos\left(\frac{\phi+2\pi(m-1)}{m}\right) + i sin\left(\frac{\phi+2\pi(m-1)}{m}\right)\right];\\ \sqrt[m]{z} &\stackrel{\rm k=m}{=} \sqrt[m]{r} \left[cos\left(\frac{\phi+2\pi m}{m}\right) + i sin\left(\frac{\phi+2\pi m}{m}\right)\right]. \end{align*}

Nota: Nel caso k = m sopra, per periodicità delle funzioni trigonometriche seno e coseno, si ha:

\(cos\left(\frac{\phi+2\pi m}{m}\right) + i sin\left(\frac{\phi+2\pi m}{m}\right) \\ = cos\left(\frac{\phi}{m}+2\pi\right) + i sin\left(\frac{\phi}{m}+2\pi\right) \\ = cos\left(\frac{\phi}{m}\right) + i sin\left(\frac{\phi}{m}\right).\)

La stessa cosa vale per gli altri valori di k non considerati sopra, anche quelli negativi.

Esempi calcolo radice di numeri complessi

Esempio 1: Si calcolino le radici quadrate del numero z = i, ponendo k = 0,1 e poi k = -1, -2. Le radici corrispondenti ad un determinato valore di k sono indicate come \(w_k\).

Per passare dalla rappresentazione cartesiana a quella polare utilizziamo le usuali formule:

\(\begin{cases} r = \sqrt{0^2+1^2} = 1 \\   \phi = \frac{\pi}{2} & \text{se $x=0$, $y>0$}\\ \end{cases}\)

Ovvero \(z = cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\). Utilizziamo ora la formula per calcolare le radici quadrate:

\begin{align*} w_0 &= cos\left(\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{2}\right) + i sin\left(\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{2}\right) \\ &= cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i sin\left(\frac{\pi}{4}\right);\\ w_1 &= cos\left(\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{2}+\frac{2\pi}{2}\right) + i sin\left(\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{2}+\frac{2\pi}{2}\right) \\ &= cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) + i sin\left(\frac{5\pi}{4}\right);\\ w_{-1} &= cos\left(\frac{\pi}{4}+\frac{-1\cdot2\pi}{2}\right) + i sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{-1\cdot2\pi}{2}\right) \\ &= cos\left(\frac{-3\pi}{4}\right) + i sin\left(\frac{-3\pi}{4}\right);\\ w_{-2} &= cos\left(\frac{\pi}{4}+\frac{-2\cdot2\pi}{2}\right) + i sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{-2\cdot2\pi}{2}\right) \\ &= cos\left(\frac{-7\pi}{4}\right)+ i sin\left(\frac{-7\pi}{4}\right).\\ \end{align*}

dove possiamo notare che, al variare di k, si ha una ripetizione delle radici:  \(w_0 = w_{-2}\) e  \(w_1 = w_{-1}\). Tutto ciò è coerente col fatto che le radici attese siano solo e soltanto due, indipendente dai valori di k scelti arbitrariamente.

Esempio 2: Si calcolino le radici quarte del numero z = 1+i.

Per passare dalla rappresentazione cartesiana a quella polare utilizziamo le usuali formule:

\(\begin{cases} r = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2} \\   \phi = arctan(\frac{1}{1}) = \frac{\pi}{4} & \text{(I quadrante)} \end{cases}\)

Ovvero \(z = \sqrt{2} \left[cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right]\). Procediamo ora con l’equazione per calcolare le radici quarte, ponendo k = 0, 1, 2, 3 e indicando le radici corrispondenti come \(w_k\):

\begin{align*} w_0 &= \sqrt[4]{2} \left[cos\left(\frac{\pi}{4}\cdot\frac{1}{4}\right)  + i sin\left(\frac{\pi}{4}\cdot\frac{1}{4}\right)\right] \\ &= \sqrt[4]{2} \left[cos\left(\frac{\pi}{16}\right) + i sin\left(\frac{\pi}{16}\right)\right];\\ w_1 &= \sqrt[4]{2} \left[cos\left(\frac{\pi}{4}\cdot\frac{1}{4}+\frac{2\pi}{4}\right) + i sin\left(\frac{\pi}{4}\cdot\frac{1}{4}+\frac{2\pi}{4}\right)\right] \\ &= \sqrt[4]{2} \left[cos\left(\frac{9\pi}{16}\right) + i sin\left(\frac{9\pi}{16}\right)\right];\\ w_2 &= \sqrt[4]{2} \left[cos\left(\frac{\pi}{16}+\frac{2\cdot2\pi}{4}\right) + i sin\left(\frac{\pi}{16}+\frac{2\cdot2\pi}{4}\right)\right] \\ &= \sqrt[4]{2} \left[cos\left(\frac{17\pi}{16}\right)  + i sin\left(\frac{17\pi}{16}\right)\right];\\ w_3 &= \sqrt[4]{2} \left[cos\left(\frac{\pi}{16}+\frac{3\cdot2\pi}{4}\right) + i sin\left(\frac{\pi}{16}+\frac{3\cdot2\pi}{4}\right)\right] \\ &= \sqrt[4]{2} \left[cos\left(\frac{25\pi}{16}\right) + i sin\left(\frac{25\pi}{16}\right)\right].\\ \end{align*}

Nota: La formula fornita per il calcolo delle radici m-esime di un numero complesso z ha una interpretazione geometrica nel piano di Argand-Gauss che rende più intuitiva anche la periodicità data dall’indice k.
Esiste inoltre un metodo algebrico specifico per il calcolo delle radici quadrate che non richiede il passaggio per la rappresentazione trigonometrica. Questo metodo risulta utile soprattutto nel caso in cui si voglia avere le radici in forma algebrica poiché, da quella trigonometrica, non sempre è possibile o semplice fare il cambio di coordinate, per via di angoli non notevoli che potrebbero capitare.