Numeri complessi e campo complesso

Il campo complesso è un insieme di numeri, detti appunto numeri complessi, che rappresenta una estensione dell’insieme ℝ dei numeri reali; tale insieme solitamente è denotato col simbolo ℂ ed è definito come:

ℂ  ≔ {(a,b) | a,b ∈ ℝ}

cioè l’insieme delle coppie ordinate (a,b) con a, b numeri reali. Ricordando l’operazione tra insiemi di prodotto cartesiano si comprende subito che l’insieme dei numeri complessi non è altro che il prodotto cartesiano di ℝ con sé stesso.

ℂ  ≔ ℝ x ℝ oppure ℂ  ≔ ℝ² 

Nota: Solitamente un elemento di ℂ, ovvero una coppia ordinata di numeri reali, è indicata con la notazione z. L’insieme dei complessi può anche essere descritto come:

ℂ ≔ {z ∈ ℂ | z = (a,b) con a,b ∈ ℝ}

In ℂ sono definite le seguenti operazioni di somma e prodotto:

(a,b) + (c,d) = (a+c,b+d)

(a,b)(c,d) = (ac-bd,bc+ad)

Tali operazioni rendono l’insieme dei numeri complessi un campo, struttura algebrica con particolari proprietà, molto importante in diverse branche della matematica. Per ora basti però sapere che questo insieme è compatibile con l’insieme ℝ. 

In particolare, il campo complesso, in quanto campo, presenta degli elementi caratteristici:

• elemento neutro rispetto alla somma (0,0).

• elemento neutro rispetto al prodotto (1,0).

• dato l’elemento (a,b), l’opposto rispetto alla somma è (-a,-b).

• dato l’elemento (a,b), l’inverso rispetto al prodotto\( \left( \frac{a}{a^2+b^2},-\frac{b}{a^2+b^2} \right)\) con a ≠ 0 ⋀ b ≠ 0 contemporaneamente.

Inoltre nel campo ℂ è definito un altro elemento particolare che prende il nome di complesso coniugato: dato z = (a,b), il complesso coniugato di z è definito come \(\overline{z}\) ≔ (a,-b). Un altro simbolo usato per indicare il complesso coniugato è z*.

Compatibilità con l’insieme reale

Definite le operazioni di somma e prodotto come sopra, si prendano le coppie (a,0) e (c,0). Applicando la definizione risulta:

(a,0) + (c,0) = (a+c,0)

(a,0)(c,0) = (ac-0,0+0) = (ac,0)

che sono equivalenti alle operazioni di somma e prodotto in campo reale. Il campo ℝ è quindi un sottoinsieme del campo complesso ℂ, in particolare coincide con tutte le coppie ordinate il cui secondo termine è 0.

 ℂ ⊇ ℝ ≔ {(a,0) | a ∈ ℝ}

Esempio 1: Sia z ∈ ℂ, z = (1,0). Questo elemento in campo complesso corrisponde al numero 1 in campo reale.

Unità immaginaria

Analogamente a prima si prenda la coppia (0,b), tutte le coppie di questo tipo sono dette numeri immaginari puri. In particolare è definito con i ≔ (0,1) l’unità immaginaria che caratterizza il campo complesso.

Fondamentale proprietà di questo elemento, come degli altri numeri immaginari puri, è che se elevato al quadrato restituisce un risultato non ottenibile in campo reale:

i² = (0,1)(0,1) = (0-1,0+0) = (-1,0)

o, equivalentemente 

\(i=\sqrt{-1}\)

Il quadrato dell’unità immaginaria i coincide con l’elemento -1 in campo reale, un numero negativo! Nella pagina Equazioni in campo complesso si vedrà le importanti implicazioni di questa proprietà; per ora basti sapere che equazioni come

x²+1=0

che in campo reale non hanno soluzione, in campo complesso la hanno.

Parte reale e parte immaginaria di un numero complesso

Dopo aver visto come particolari elementi di ℂ possano essere divisi in numeri reali e numeri immaginari puri, proviamo ad esprimere un generico elemento z in funzione di queste due coppie. Sia dato un elemento z = (a,b), usando le definizioni delle operazioni di somma e prodotto e quella di unità immaginaria, segue che:

(a,b) = (a,0) + (0,b) = a + (0,b)

a + (0,b) = a + (b,0)(0,1) = a + b(0,1) = a + bi

Quindi un generico elemento z ∈ ℂ, z = (a,b) può essere scritto anche come z = a + bi, con a, b ∈ ℝ come al solito. In particolare il numero a viene detto parte reale di z, mentre il numero b parte immaginaria di z.

z = a + ib

Re(z) ≔ a Im(z) ≔ b

z = Re(z) + i*Im(z)

Nota: Sia z ∈ ℂ.

 z ∈ ℝ ⇔ Im(z) = 0

z ∉ ℝ ⇔ Im(z) ≠ 0

z è immaginario puro ⇔ Re(z) = 0

Esempio 2: Siano dati z₁=(3,5), z₂=(2,1). Stabilire parte reale Re(z₁+z₂) e parte immaginaria Im(z₁+z₂). 

z₁+z₂ = (3,5) + (2,1) = (5,6) = 5 + i6

Re(z₁+z₂) = 5   Im(z₁+z₂) = 6

Perdita dell’ordinamento totale

In campo complesso, a differenza del campo reale, non si ha un ordinamento totale: infatti il campo complesso non è un campo ordinato rispetto alle operazioni di somma e prodotto definite su ℂ . In altre parole non è possibile definire un ordinamento tale che

a ≤ b ⇒ a + c  ≤ b + c

a > 0, b ≥ 0 ⇒ ab ≥ 0

Infatti in ogni campo ordinato tutti i quadrati devono essere maggiori o uguali a zero: per costruzione dell'unità immaginaria, invece, i² = -1 e ciò falsifica la seconda condizione. Ne segue che lo studio di disequazioni coi numeri complessi perde quindi significato.

Nota: Nonostante non sia possibile definire un ordinamento totale su ℂ, è possibile definire un ordinamento parziale tramite il modulodi un numero complesso.