Potenze di un numero complesso e formula di De Moivre

Nella pagina "Numeri complessi e campo complesso" è stato introdotto il campo complesso descrivendone gli elementi, le proprietà e le operazioni su esso definite mentre nella pagina "Operazioni in campo complesso" sono state elencate molte delle operazioni coi numeri complessi anche usando diverse rappresentazioni. In questa pagina ci si concentra sull’operazione di elevamento a potenza di un numero complesso e si enuncia la formula di De Moivre ad essa legata.

Si ricordi che in ℂ è definita l’operazione di prodotto:

(a,b)(c,d) = (ac-bd,bc+ad)

operazione che diventa via via algebricamente più impegnativa con l’aumentare dei numeri moltiplicati. Per ovviare a questo problema, si utilizza principalmente la rappresentazione esponenziale dei numeri complessi, dove valgono le usuali regole delle potenze.

Potenze di un numero complesso

Analogamente al caso reale, l'operazione di elevamento a potenza n-esima, con n ∈ ℕ consiste nel moltiplicare la base per sè stessa n volte.

Esempio 1: Sia dato il numero complesso z = 2 + 2i e si calcoli, rimanendo nella rappresentazione cartesiana, z².

\begin{equation*} \begin{aligned} z^2 & = z\cdot z = (x+iy)(x+iy)\\ & = x^2 + y^2 i^2 + 2xyi = x^2 - y^2 + 2xy i \end{aligned} \end{equation*}

e dato che x =2, y = 2 

\(z^2 = 4 - 4 + 2\cdot 2 i = 4 i\)

Nota: Intuitivamente all'aumentare dell'esponente con cui si effettua l'operazione di potenza aumentano anche i calcoli algebrici da svolgere. La rappresentazione cartesiana dei numeri complessi non è la rappresentazione migliore per svolgere operazioni di moltiplicazione ed elevamento a potenza.

Passiamo quindi alle coordinate polari dove:

z = x + iy

diventa, in forma trigonometrica:

\( z = r(cos\phi + i sin\phi) \)

oppure, usando formula di Eulero \(e^{i\phi} = cos\phi + i sin\phi \), diventa, in forma esponenziale:

\(z = re^{i\phi}\)

La trasformazione di coordinate per passare da (x,y) a (r,Φ) è la seguente:

\(\left\{\begin{array}{@{}l@{}l} r = \sqrt{x^2+y^2}\\  \phi = arctan(\frac{y}{x})\\  \end{array}\right.\,\)

r ∈ [0,+∞) e Φ ∈ [0,2𝜋) oppure Φ ∈ (-𝜋,𝜋]

con r detto modulo e Φ detto argomento di z. Per visualizzare graficamente il significato delle coordinate polari si veda "Numeri complessi nel piano di Gauss in coordinate polari". 

Nota: La formula per Φ vale solo se l’elemento z è situato nel primo quadrante del piano di Gauss. Qua non ci si dilunga ma, per capire meglio come funziona la trasformazione tra coordinate cartesiane e polari, si consulti la pagina "Cambio di rappresentazione tra numeri complessi".

La rappresentazione esponenziale di un numero.complesso è particolarmente comoda per l'operazione di elevamento a potenza:

\(z^n = (re^{i\phi})^n = r^n {e^{i\phi}}^n = r^n e^{in\phi}\) con n ∈ ℕ

Esempio 2: Si calcoli la potenza quarta di i, cioè i⁴.

Dalla rappresentazione cartesiana di i = 0 + 1i, passiamo alle coordinate polari e alla rappresentazione esponenziale usando gli angoli notevoli di seno e coseno: 

\(i = cos\frac{\pi}{2} + i sin\frac{\pi}{2} = e^{i\frac{\pi}{2}}\)

e infine calcoliamo i⁴:

\(i^4 = e^{i4\frac{\pi}{2}} = e^{i2\pi} = cos2\pi + i sin2\pi = 1\)

Nota: In questo caso la formula per Φ scritta sopra non è valida perché l’argomento dell’arcotangente ha uno 0 a denominatore. Tuttavia basta visualizzare i nel piano di Gauss per capire che \(\phi = \frac{\pi}{2}\).

Formula di De Moivre

Sia dato z ∈ ℂ in coordinate cartesiane, \( z = r(cos\phi + i sin\phi) \). Allora, dato n ∈ ℕ, si ha che vale la formula di De Moivre:

\(z^n = r^n(cos(n\phi) + i sin(n\phi))\)

Questa formula è utile sia per l’elevamento a potenza sia nelle equazioni in campo complesso. In sostanza dato z = (r,Φ), con l’elevamento a potenza n-esima, si ha un elevamento a potenza del modulo ed una dilatazione dell’argomento:

(r,Φ) → (rⁿ,nΦ)

Dimostrazione: Sia \( z = r(cos\phi + i sin\phi) \).

Usando la formula di Eulero \(e^{i\phi} = cos\phi + i sin\phi \) si può riscrivere z come esponenziale \(z = re^{i\phi}\) per il quale valgono le usuali proprietà delle potenze:

\(z^n = (re^{i\phi})^n = r^n e^{in\phi} \)

e, applicando nuovamente Eulero:

\(r^n e^{i(n\phi)} = r^n (cos(n\phi) + i sin(n\phi)) \)

cioè, tramite la catena di uguaglianze:

\(z^n = r^n (cos(n\phi) + i sin(n\phi)) \)

che è proprio la formula di De Moivre.

Esempio 3: Calcolare il cubo e la potenza decima di z = 2 + 2i e si assuma come intervallo dell’argomento Φ ∈ [0,2𝜋).

Il primo passo è quello di passare alle coordinate polari per poi applicare la formula di De Moivre: 

\(\left\{\begin{array}{@{}l@{}l}  r = \sqrt{2^2+2^2} = 2\sqrt{2}\\  \phi = arctan(\frac{2}{2}) = \frac{\pi}{4}\\ \end{array}\right.\,\)

quindi \( z = 2\sqrt{2} (cos\frac{\pi}{4} + i sin\frac{\pi}{4}) \). Applichiamo ora la formula di De Moivre per il cubo:

\begin{equation*} \begin{aligned} z^3 & = ( 2\sqrt{2})^3 \left(cos\frac{3\pi}{4} + i sin\frac{3\pi}{4}\right)\\ & = ( 2^3\sqrt{2^3}) \left(-cos\frac{\pi}{4} + i sin\frac{\pi}{4}\right)\\ & = 16\sqrt{2} \left(-\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\\  & = 16 (-1+i) = -16 + 16 i \end{aligned} \end{equation*}

ricordando qualche angolo notevole per seno e coseno. Infine, calcoliamo la potenza decima:

\begin{equation*} \begin{aligned} z^{10} & = ( 2\sqrt{2})^{10} \left(cos\frac{10\pi}{4} + i sin\frac{10\pi}{4}\right)\\  & = ( 2^{10}\sqrt{2^{10}}) \left(cos\frac{5\pi}{2} + i sin\frac{5\pi}{2}\right)\\ & = 2^{15} \left(cos\frac{\pi}{2} + isin\frac{\pi}{2}\right)\\  & = 2^{15}i \end{aligned} \end{equation*}

Nota: In alternativa alla formula di De Moivre è possibile utilizzare la formula della potenza n-esima di un binomio, tuttavia, al crescere dell’esponente, cresce anche la difficoltà algebrica del conto e l’espressione restituita non è molto maneggevole.

Esempio 4: Si scrivano il quadrato ed il cubo del numero complesso z = x+yi.

\(z^2 = (x+iy)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi \)

\(z^3 = (x+iy)^3 = x^3 - 3xy^2 - i(y^3  - 3 x^2y) \)

Formula di De Moivre e formule di duplicazione

Dalla relazione di De Moivre si possono ritrovare le relazioni di duplicazione delle funzioni trigonometriche seno e coseno: partendo dalla formula:

\(z^n =  r^n(cos\phi + i sin\phi)^n = r^n(cos(n\phi) + i sin(n\phi))\)

si ponga il modulo r pari a 1 e si sviluppi la potenza del binomio \((cos\phi + i sin\phi)^n\). Infine si eguaglino la parte reale, non moltiplicata dalla i, e la parte immaginaria, moltiplicata dalla i, a sinistra e a destra dell’uguaglianza.

Nel caso n = 2 si ha:

\((cos\phi + i sin\phi)^2 = cos(2\phi) + i sin(2\phi)\)

\(cos^2\phi - sin^2\phi + i 2cos\phi sin\phi = cos(2\phi) + i sin(2\phi)\)

\(\left\{\begin{array}{@{}l@{}l} cos(2\phi) = cos^2\phi - sin^2\phi\\    sin(2\phi) = 2cos\phi sin\phi\\ \end{array}\right.\,\)

Analogamente si può procedere per i casi n = 3, 4, … trovando di volta in volta le relazioni per sin(3Φ), cos(3Φ), eccetera.