Differenza di quadrati
La differenza di quadrati è un prodotto notevole che afferma che la differenza tra i quadrati di due termini può essere espressa come il prodotto della somma e della differenza degli stessi due termini. Matematicamente, questa identità si esprime come:
(a + b)(a - b) = a2 - b2
Questa formula è estremamente utile perché permette di risolvere espressioni che altrimenti richiederebbero più tempo per essere risolte.
La formula della differenza di quadrati può essere facilmente derivata espandendo il prodotto tra binomi (a + b)(a - b):
(a + b)(a - b) = a(a - b) + b(a - b) = a2 - ab + ab - b2 = a2 - b2
Notiamo che i termini -ab e +ab si annullano a vicenda, lasciandoci con la differenza di quadrati a2 - b2.
La definizione può essere riassunta nel seguente modo:
Il prodotto fra la somma di due monomi e la loro differenza è uguale alla differenza fra il quadrato del primo monomio ed il quadrato del secondo monomio
Esempi di differenza di quadrati
Proviamo a risolvere il seguente prodotto tra polinomi (x + 7) (x - 7):
Possiamo notare che il prodotto si trova nella forma (a + b)(a - b), cioè si tratta della differenza di quadrati. Questo ci permette di risolvere rapidamente il prodotto, infatti:
(x + 7) (x - 7) = (x)2 - (7)2 = x2 - 49
Allo stesso modo, proviamo a risolvere il seguente prodotto tra polinomi (2x+3)(2x-3):
Analogamente a prima, il prodotto si presenta nella forma (a + b)(a - b), quindi il risultato del prodotto sarà determinato dalla differenza dei quadrati dei due monomi(2x e 3), cioè:
(2x+3)(2x-3) = (2x)2 - (3)2 = 4x2 - 9
Nota: al posto di (3)2 potevamo scrivere (-3)2. Essendo elevato al quadrato, non importa il segno del termine.