Coppia ordinata: definizione, proprietà ed esempi

Prima di introdurre l’operazione vera e propria di prodotto cartesiano è necessario specificare il concetto di coppia ordinata: dati due insiemi non vuoti A e B viene indicata con (a,b) la coppia ordinata di elementi con a ∈ A, b ∈ B.

Nota: Si noti che (a,b) non è lo stesso oggetto indicato dalla notazione {a,b} che elenca solo gli elementi di un insieme, senza condizioni di ordinamento.

Per la condizione di ordine in generale (a,b) ≠ (b,a) e per avere l’uguaglianza di due coppie ordinate dati a, a’ ∈ A, b, b’ ∈ B si ha quanto segue:

(a,b) = (a’,b’) ⇔ (a = a’) ⋀ (b = b’)

ovvero due coppie ordinate sono uguali se e soltanto se il primo e il secondo elemento di ciascuna coppia, altrimenti detti prima e seconda coordinata rispettivamente, sono equivalenti a due a due.

Nota: L’unica eccezione al caso (a,b) ≠ (b,a) si ha quando a = b con a ∈ A, a ∈ B.

Esempio 1: siano date le seguenti coppie ordinate (1,2) e (2,1). Utilizzando la stessa notazione della definizione sopra, poniamo per la coppia (1,2):

a = 1, b = 2

mentre per la coppia (2,1) poniamo:

a’ = 2 e b’ = 1

Appare evidente come entrambi i primi elementi a, a’ e i secondi elementi b, b’ siano tra loro diversi e quindi sono le coppie stesse ad essere diverse.

Inoltre questo esempio sottolinea il fatto che due coppie aventi gli stessi elementi, {1,2}, non sono uguali se non è rispettato l’ordine: a differenza dell’uguaglianza tra insiemi, dove contano solo gli elementi, per le coppie ordinate abbiamo una condizione extra di ordinamento.