Polinomio completo: definizione ed esempi

Un polinomio completo è un polinomio che contiene tutti i termini possibili fino al grado massimo del polinomio, ciascuno con un coefficiente diverso da zero. Questo significa che per un polinomio completo di grado n in una variabile, saranno presenti tutti i termini da xⁿ fino a x⁰ (il termine costante).

Ad esempio, consideriamo un polinomio di terzo grado. Il polinomio completo associato sarà:

3x³ + 4x² + x + 1

In un polinomio completo, non mancano termini; ogni potenza della variabile, fino al grado specificato, è rappresentata.

Per comprendere meglio cosa sia un polinomio completo, è utile confrontarlo con un polinomio incompleto. Un polinomio incompleto è un polinomio in cui uno o più termini che dovrebbero essere presenti (in base al grado massimo del polinomio) sono assenti.

Ad esempio, consideriamo i seguenti polinomi:

• 2x⁴ + 3x³ + 6x² + 5x + 1: esso è un polinomio completo, infatti contiene tutti i termini possibili tra il suo grado maggiore e il grado zero.

• 2x⁴ + 6x² + 1: esso non è un polinomio completo, in quanto non sono presenti tutti i termini possibili. In particolare, mancano i termini x³ e x, che invece sono presenti nel polinomio precedente.

Esempi di polinomi completi

Vediamo alcuni esempi concreti per chiarire ulteriormente il concetto di polinomio completo:

• 3x + 2 è un polinomio completo.

• x² + 2x non è un polinomio completo, infatti manca il termine di grado 0.

• x³ + 3x² + 5x + 2 è un polinomio completo

• a²b + ab³ + 5 è un polinomio completo rispetto alla lettera a, ma non è completo rispetto alla lettera b, in quanto manca il termine b².

• ab³ + 2b² + 7b + 3 è un polinomio completo rispetto alla lettera b, ma anche rispetto alla lettera a.