Operazioni tra polinomi

Con operazioni tra polinomi intendiamo le principali operazioni come l’addizione e la sottrazione tra polinomi, il prodotto di un monomio per un polinomio, il prodotto tra due polinomi.

Addizione e sottrazione tra polinomi

Come nel caso dei monomi, anche la differenza tra due polinomi è uguale alla somma del primo polinomio con l’opposto del secondo polinomio. Di conseguenza addizione e sottrazione vengono considerati insieme sotto il nome di addizione algebrica.

La somma di due polinomi è un polinomio i cui termini vengono sommati. In particolare se sono presenti due o più monomi simili, ovvero con la stessa parte letterale e con lo stesso grado, basta semplicemente svolgere la somma dei coefficienti dei monomi simili.

Esempio:

1. (x² + 3x - 2) + (x + 5)

   Innanzitutto eliminiamo le parentesi ottenendo la seguente somma:

   x² + 3x - 2 + x + 5

   Osserviamo che 3x e x sono monomi simili, come anche -2 e 5, possiamo quindi procedere svolgendo la somma dei coefficienti dei monomi simili, cioè:

   (3 +1)x = 4x

   e 

   -2 + 5 = 3

   Ottenendo così la somma dei due polinomi iniziali: x² + 4x + 3

2. (5a + b² - 2b + 4c) + (-2a + 3c + b²)

   Riscriviamo la somma tra i due polinomi rimuovendo le parentesi e facendo attenzione ai segni!

   5a + b² - 2b + 4c - 2a + 3c + b²

   Sommiamo i monomi simili:

   (5 - 2)a + (1 + 1)b² + (4 + 3)c - 2b = 3a + 2b² + 7c -2b

Come già specificato nell’introduzione dell’addizione e sottrazione tra polinomi, la differenza tra polinomi è identica alla somma tra polinomi, infatti nei due esempi precedenti abbiamo svolto due operazioni di sottrazione. 

Nell’esempio [2] abbiamo svolto il seguente calcolo: 5a - 2a, si tratta proprio della sottrazione tra polinomi.

Prodotto di un monomio per un polinomio

La moltiplicazione di un monomio per un polinomio si svolge moltiplicando il monomio per ogni termine presente nel polinomio e poi sommare i prodotti ottenuti. 

Durante il processo di moltiplicazione bisogna fare molta attenzione ai segni dei singoli termini, inoltre è importante ricordare la proprietà distributiva e le proprietà delle potenze.

Esempio:

3. 2x(x² - 5x + y - 2)

   Rimuoviamo le parentesi facendo attenzione ai segni, ottenendo:

   2xx²+2x(-5x) + 2xy + 2x(-2)

   Ora svolgiamo i prodotti, ricordandosi di applicare la proprietà delle potenza:

   2x³ - 10x² + 2xy - 4x

4. -3y(x - 3y + 5)

   Seguendo i passi usati per l'esempio precedente, otteniamo che:

   (-3y)x + (-3y)(-3y) + (-3y)5= - 3xy + 9y² - 15y

Prodotto tra due polinomi

Per eseguire il prodotto tra due polinomi basta moltiplicare ciascun termine del primo polinomio per tutti i termini del secondo e poi sommare i prodotti ottenuti:

Esempio:

5. (x + 1)(x + 3)

   Da definizione dobbiamo prendere ciascun termine del primo polinomio e moltiplicarlo per ogni termine del secondo polinomio. 

   Partiamo dal termine x e moltiplichiamolo per il secondo polinomio:

   x(x + 3)

   analogamente per il termine 1:

   1(x + 3)

   Ora sommiamo i due prodotti di monomi con polinomi

   x(x + 3) + 1(x + 3)

   Svolgendo i prodotti come nel caso della moltiplicazione tra monomi e polinomi, otteniamo:

   x(x) + x(3) + 1(x) + 1(3) = x²+3x+x+3

   Come possiamo notare il polinomio non è ridotto in forma normale, infatti possiamo sommare tra di loro due termini

   x² + 4x + 3

   Riassumendo tutti i passaggi: (x+1)(x+3)=x(x+3) +1(x+3)=x²+3x+x+3=x²+4x+3

6. (a + b)(a + 2)

   Seguendo i passi usati per l'esempio precedente, otteniamo:
   a(a + 2) + b(a + 2)

   e svolgendo i prodotti otteniamo:

   a(a)+a(2)+b(a)+b(2)=a²+2a+ab+2b