Relazioni di equivalenza: definizione e proprietà

Sono dette equivalenze, e generalmente indicate col simbolo ∿, delle particolari relazioni binarie r in un insieme X che verificano le 3 seguenti proprietà:

1. riflessiva: ∀ x ∈ X | x ∿ x, ovvero ogni elemento dell’insieme X è equivalente a se stesso attraverso la relazione r;

2. simmetrica: ∀ x, y ∈ X | x ∿ y ⇔ y ∿ x, cioè ogni un elemento x è equivalente ad un  elemento y attraverso r se e soltanto se anche y è equivalente a x attraverso r e ciò deve valere per tutti gli elementi dell’insieme;

3. transitiva: ∀ x, y, z ∈ X | x ∿ y ⋀ y ∿ z  ⇒ x ∿ z, ovvero per ogni terna di elementi dell’insieme l’equivalenza attraverso r di un elemento y con gli altri due implica che questi ultimi due elementi devono essere equivalente tra loro.

Esempio 1: L’uguaglianza "=" è banalmente una relazione di equivalenza in quanto soddisfa le 3 proprietà citate. Dato per esempio l’insieme dei numeri reali ℝ si ha:

• un qualsiasi numero è uguale a sè stesso;

• se due elementi sono uguali allora sono lo stesso numero è la simmetria è banale;

• se x = y ⋀ y = z abbiamo che x e y sono lo stesso numero, ma ciò vale anche per y e z e ciò implica che x e z debbano essere lo stesso numero.

Esempio 2: Il parallelismo di rette nel piano o nello spazio euclideo sono un’equivalenza.

Esempio 3: L’operatore < non rientra nelle equivalenze poiché viene subito a mancare la prima proprietà: x non può essere più piccolo di sé stesso; tale operatore è esclusivamente transitivo.

L’operatore ≤ invece è riflessivo oltre che transitivo, tuttavia non rispetta la simmetria: sia ℕ il nostro insieme, preso 5 ≤ 6 abbiamo 6 ≤ 5 che è chiaramente falsa e quindi l’operatore ≤ non costituisce una relazione di equivalenza.

Esempio 4: Uscendo dal linguaggio matematico, la relazione "x è parente di y" è una equivalenza mentre la relazione "x è figlio di x" invece non soddisfa nessuna delle 3 proprietà.

Classi di equivalenza

Data in X una relazione ~, ovvero che sia una equivalenza, si definisce una classe di equivalenza [x] l’insieme di tutti gli elementi di X equivalenti a x secondo ~ ovvero

[x] ≔ {y | y ∈ X ⋀ x ∿ y} dove [x] in particolare si legge come "classe di equivalenza di x".
Esempio 1: Sia X l’insieme di tutte le automobili e ~ definita come "ha lo stesso colore di". Allora una classe di equivalenza sarà quella delle automobili nere.