Differenza tra insiemi

Avendo ben chiaro il concetto di insieme, sfruttando i diagrammi di Venn per visualizzare meglio le operazioni svolte e definendo un insieme universo U per evitare ambiguità, procediamo spiegando una delle principali operazioni insiemistiche.

Dati A, B due insiemi generici contenuti in U, la differenza di A da B restituisce un nuovo insieme risultante B\A che è la classe di tutti gli oggetti del primo insieme (B) che contemporaneamente non appartengono al secondo insieme (A). L’insieme risultante, intuitivamente contenuto anch’esso in U, è definito come:

B\A ≔ {x ∈ U | x ∈ B ⋀ x ∉ A}

che in altre parole è equivalente a togliere dal primo insieme (B) tutti i suoi elementi che appartengono all’intersezione con il secondo insieme (A), ovvero B ∩ A. Se abbiamo due insiemi disgiunti, B ∩ A = ∅,  la differenza B\A sarà pari all’insieme di partenza B poiché gli elementi di A che non appartengono a B non hanno alcun effetto nell’operazione di differenza.

La rappresentazione con il diagramma di Venn dell’insieme differenza corrisponde alla parte colorata in arancione nella seguente figura:

mentre per il caso particolare di insiemi disgiunti si ha:

Esempio 1: Sia U ≔ ℕ e siano A, B, C alcuni suoi sottoinsiemi definiti come A ≔ {1, 2, 3, 4}, B ≔ {3, 4, 5}, C ≔ {5, 6, 7}. Operando la differenza insiemistica tra i precedenti insiemi avremo:

In particolare si noti che la differenza insiemistica generalmente è non commutativa: cambiando l’ordine dei termini il risultato cambia. In questo caso, per esempio, B \ C ≠ C \ B e così via.

Esempio 2: Sia U ≔ ℕ e siano A, B due suoi sottoinsiemi definiti come A ≔ {x ∈ U | x ≥ 4}, B ≔ {x ∈ U | x ≥ 20}. Operando la differenza tra i precedenti insiemi avremo:

A \ B =  {x ∈ U | x ≥ 4 ⋀ x < 20}

B \ A = ∅ 

con particolare attenzione ai simboli di <, ≤, >, ≥. Nel caso B \ A = ∅ possiamo affermare che B sia sottoinsieme di A, B ⊂ A, come vedremo nelle proprietà.

Nota: ponendo U come ℚ o ℝ possiamo attuare l’operazione di differenza anche tra insiemi densi e questo tornerà utile nell’Analisi Matematica.

Proprietà della differenza tra insiemi

Posto un insieme universo U e dati due suoi sottoinsiemi generici A, B, per l’operazione di differenza valgono le seguenti proprietà:

1. la differenza di un qualsiasi insieme con sè stesso è equivalente all’insieme vuoto, infatti se B = A allora:

   A \ B = A \ A = ∅

   poiché sottraiamo da A tutti gli elementi di cui è composto;

2. la differenza di un qualsiasi insieme A con un suo sottoinsieme B, a seconda dell’ordine, coincide con il complementare del sottoinsieme rispetto all’insieme contenitore o con l’insieme vuoto:

   B \ A = ∅ 

   poiché per ipotesi B ⊆ A e per definizione di sottoinsieme tutti gli elementi di B sono contenuti in A e

   A \ B = 𝓒 B

   posto U ≔ A, infatti l’insieme U a cui vogliamo togliere gli elementi di B contiene già B per ipotesi e quindi rimangono tutti gli elementi che non appartengono ad B, ossia il suo complementare rispetto all’insieme contenitore A;

3. la differenza tra un insieme e l’insieme vuoto ∅, a seconda dell’ordine, da l’insieme stesso o l’insieme vuoto:

   A \ ∅ = A

   poiché per definizione l’insieme vuoto non ha elementi che possono essere sottratti da A e

   ∅ \ A = ∅

   dato che l’insieme a cui vogliamo togliere gli elementi di A è già vuoto in partenza; 

4. la differenza tra un insieme e l’insieme universo U, a seconda dell’ordine, da il complementare dell’insieme stesso o l’insieme vuoto:

   A \ U = ∅ e U \ A = 𝓒 A

   poiché per ipotesi A ⊆ U  e possiamo applicare la proprietà 2.

Nota: le precedenti 4 proprietà sono tutte casistiche particolari della proprietà n.2. In particolare si ricordi la nozione di sottoinsiemi impropri per la quale ∅, A ⊆ A.

Riassumiamo le 4 proprietà nella seguente tabella seguendo l’ordine precedente.