Cardinalità di un insieme finito ed equipotenza

Definito un insieme come una raccolta di elementi accomunati da una proprietà comune o semplicemente espressi tramite elencazione, la cardinalità, o potenza o numero cardinale, di un insieme A è definita come il numero di elementi contenuti nell’insieme; la cardinalità di un insieme A è quindi un numero naturale e viene indicato con card(A).

Ci sono due casi particolari che sono l’insieme vuoto ∅ e un insieme di infiniti elementi: 

• la cardinalità dell’insieme vuoto è pari a zero, ovvero card(∅) = 0;

• la cardinalità di un insieme A di infiniti elementi è pari a infinito, ovvero card(A) = ∞.  

Esempio 1: Sia A ≔ ℕ, quindi card(A) = ∞. 

Esempio 2: Sia B ≔ {x | x ∈ ℕ ⋀ x ≤ 10}, quindi card(B) = 11 poiché B contiene i numeri da 0 a 10 compresi che sono effettivamente undici elementi.

Esempio 3: Sia C ≔ {x | x ∈ ℝ ⋀ x ≥ 0 ⋀ x ≤ 1}. Si ha che card(C) = ∞ in quanto l’insieme dei numeri reali è un insieme denso, ovvero dati due numeri tra essi vi sono infiniti elementi che non proviamo nemmeno ad elencare.

Equipotenza

Definito il concetto di cardinalità si può introdurre il concetto di equipotenza tra insiemi: due insiemi finiti A, B sono detti tra loro equipotenti se e solo se hanno la stessa cardinalità, in altre parole se hanno lo stesso numero di elementi (che possono essere diversi tra loro).

A e B sono equipotenti ⇔ card(A) = card(B)

Equipotenza e uguaglianza tra due insiemi non coincidono: l’equipotenza non implica l’uguaglianza mentre due insieme equivalenti sono equipotenti poiché devono avere lo stesso numero di numeri.

A e B equipotenti ⇏ A e B uguali

A e B uguali ⇒ A e B equipotenti

Esempio 4: dati A ≔ {1, 2, 3} e B ≔ {4, 5, 6} si ha card(A) = card(B) = 3 ovvero A e B sono equipotenti; tuttavia possiamo osservare che A ≠ B e anzi non hanno nemmeno un elemento in comune. 

Esempio 5: dato A insieme generico è banale che card(A) = card(A) ovvero che un insieme ha lo stesso numero di elementi di sè stesso.
Nota: nel caso di insiemi con numeri infiniti di elementi quali ℕ, ℚ, ℝ è necessaria la ridefinizione dei concetti di cardinalità e di equipotenza per poter distinguere qualitativamente tra diversi tipi di insiemi infiniti. Tale procedimento tornerà utile nell’Analisi Matematica e non proviamo a riportarlo qui per semplicità e sintesi di trattazione dell’argomento cardinalità ed equipotenza.