Somma e differenza di angoli nel piano euclideo

Nell’eseguire graficamente l’operazione di somma tra due angoli occorre che siano angoli consecutivi: gli angoli devono essere posti in modo tale da avere un solo lato e il vertice in comune, con il lato rimanente di un angolo dalla parte opposta rispetto al lato rimanente dell’altro. Ci sono sostanzialmente due casistiche in cui ci si può imbattere nel tentativo di sommare angoli:

• angoli consecutivi

• angoli non consecutivi

Se ci si trova nel primo caso, ovvero gli angoli sono già consecutivi, allora si può calcolare la loro somma senza ulteriori passaggi: supponendo angoli convessi, siano \(A\widehat{O}B\) e \(B\widehat{O}C\) angoli consecutivi con vertice O coincidente e lato comune b, allora la somma è l’angolo \(A\widehat{O}C\) con ampiezza pari alla somma delle ampiezze dei singoli angoli.

\(A\widehat{O}B + B\widehat{O}C = A\widehat{O}C\)

Se, invece, si è nel secondo caso è sufficiente far coincidere i vertici nello stesso punto per mezzo di una traslazione rigida di uno dei due angoli e, successivamente, con una rotazione rigida, con centro di rotazione il vertice dell’angolo, sovrapporre un lato della coppia di angoli.

Nota: La notazione utilizzata è spiegata più nel dettaglio nella pagina "Angolo nel piano euclideo". L’ipotesi di angoli convessi fatta precedentemente ha il solo scopo di mantenere una coerenza con la notazione adottata: il discorso vale in generale per angoli qualsiasi.

Per quanto riguarda l’operazione di differenza tra due angoli occorre che siano sovrapposti: gli angoli devono essere consecutivi ma, a differenza del caso precedente, con il lato rimanente di un angolo dalla stessa parte rispetto al lato rimanente dell’altro. Le casistiche che si possono incontrare sono, come per la somma, sostanzialmente due e sono le seguenti:

• angoli sovrapposti

• angoli non sovrapposti

Dalla seconda casistica, come prima, ci si deve ricondurre ad angoli sovrapposti tramite traslazione e rotazioni rigide, con l’accortezza di avere il lato rimanente di ciascun angolo dalla stessa parte. Ottenuti due angoli sovrapposti è possibile eseguire l’operazione di differenza: sempre nell’ipotesi di angoli convessi, siano \(A\widehat{O}B\) e \(A\widehat{O}C\) angoli sovrapposti con vertice O coincidente e lato comune a, allora la differenza è l’angolo \(B\widehat{O}C\) con ampiezza pari alla differenza delle ampiezze dei singoli angoli.

\(A\widehat{O}C - A\widehat{O}B = B\widehat{O}C\)