Infiniti e confronto tra infiniti
L'infinito, un concetto che ha affascinato e sfidato filosofi, matematici e scienziati per secoli, è fondamentale per comprendere il comportamento limite delle funzioni nell'analisi matematica. Tuttavia, non tutti gli infiniti sono uguali: esiste una gerarchia sottile ma significativa tra di loro. Questa pagina esplora il confronto tra infiniti e la gerarchia degli infiniti nei limiti, gettando luce su come questi concetti si manifestano in matematica e influenzano il nostro approccio ai problemi analitici.
L'analisi dei limiti è una branca della matematica che esamina il comportamento delle funzioni quando i loro input si avvicinano a determinati valori o all'infinito. Qui, l'infinito non è semplicemente una nozione astratta, ma un concetto pratico che ci permette di parlare di quantità che crescono senza limite. Tuttavia, quando iniziamo a confrontare questi comportamenti di crescita, scopriamo che alcuni infiniti crescono più "velocemente" di altri, introducendo la nozione di una gerarchia tra infiniti.
Nell'analisi dei limiti, il confronto tra infiniti si manifesta nel confronto tra tassi di crescita di diverse funzioni. Ad esempio, considerando le funzioni f(x)=x e g(x)=x2 mentre x tende all'infinito, vediamo che g(x) cresce più rapidamente di f(x). Questo è un esempio di come alcuni infiniti, o tassi di crescita verso l'infinito, possano essere considerati "più grandi" di altri.
In particolare, una funzione f si dice un infinito per \(x\to x_0\) quando il suo limite per \(x\to x_0\) è più infinito o meno infinito oppure infinito senza segno.
Confronto tra infiniti
Date due funzioni f e g, infinite per \(x\to x_0\), il confronto tra infiniti avviene tramite il limite del loro rapporto. Si distinguono quattro casi diversi:
se \(\lim\limits_{x\to x_0}{\frac{f(x)}{g(x)}}=0\), diciamo che f è un infinito di ordine inferiore a g;
se \(\lim\limits_{x\to x_0}{\frac{f(x)}{g(x)}}=l\ne 0\), diciamo che f e g sono infiniti dello stesso ordine;
se \(\lim\limits_{x\to x_0}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\infty\), diciamo che f è un infinito di ordine superiore a g;
se \(\lim\limits_{x\to x_0}{\frac{f(x)}{g(x)}}\) non esiste, diciamo che f e g non sono confrontabili.
Esempio confronto tra infiniti
Confrontiamo tra di loro i seguenti infiniti:
\(f(x)=x\) e \(g(x)=x^2\), è abbastanza intuibile che g(x) cresce più rapidamente di f(x) (quando \(x\to +\infty\), questo comporta che \(\lim\limits_{x\to +\infty}{\frac{x}{x^2}}=0\) ovvero f è un infinito di ordine inferiore a g.
\(f(x)=(x^2-1)^3\) e \(g(x)=x^4\), otteniamo che \(\lim\limits_{x\to +\infty}{\frac{(x^2-1)^3}{x^4}}=+\infty\). Infatti andando a risolvere il cubo, a noi interessa solo l’elemento con l’esponente più grande, in questo caso \(x^6\). Di conseguenza possiamo riscrivere il limite nel seguente modo: \(\lim\limits_{x\to +\infty}{\frac{(x^2-1)^3}{x^4}}=\lim\limits_{x\to +\infty}{\frac{x^6}{x^4}}=\lim\limits_{x\to +\infty}{\frac{x^2}{1}}=+\infty\), questo significa che f è un infinito di grado supeiore a g.
Gerarchia degli infiniti
Per poter confrontare tra di loro infiniti di potenze, esponenziali e logaritmi, esiste un teorema che stabilisce la gerarchia degli infiniti per risolvere forme di indecisione relative a questi tipi di funzioni.
Il teorema afferma che la funzione esponenziale di base maggiore di 1, è un infinito di ordine superiore rispetto a qualsiasi funzione potenza con esponente positivo, ovvero:
\(\lim\limits_{x\to +\infty}{\frac{a^x}{x^n}}=+\infty\) con \(a>1\), \(n>0\)
Inoltre, qualsiasi potenza con esponente positivo della funzione logaritmica di base maggiore di 1 è un infinito di ordine inferiore rispetto a qualsiasi potenza con esponente positivo, cioè:
\(\lim\limits_{x\to +\infty}{\frac{(\log_a{x})^b}{x^c}}=0\) con \(a>1\), \(b>0\), \(c>0\)
Di conseguenza otteniamo la seguente gerarchia per gli infiniti:
\(a^x >> x^n >> (\log_ax)^n\) per \(x\to +\infty\)
questa gerarchia è molto utile per poter risolvere forme di indecisione relative a funzioni di potenza, esponenziale e logaritmiche.
Esempio di calcolo di limiti usando la gerarchia per gli infiniti
Risolviamo i seguenti limiti usando la gerarchia per gli infiniti:
\(\lim\limits_{x\to +\infty}{\frac{x^2}{e^x}}\), visto che l’esponenziale è un infinito di ordine superiore a qualsiasi potenza con esponente positivo, quindi abbiamo che: \(\lim\limits_{x\to +\infty}{\frac{x^2}{e^x}}=0\)
\(\lim\limits_{x\to +\infty}{\frac{x^2}{\log{x}}}\), sapendo che qualsiasi potenza con esponente positivo è un infinito di ordine superiore a qualsiasi logaritmo, otteniamo che: \(\lim\limits_{x\to +\infty}{\frac{x^2}{\log{x}}}=+\infty\).
Riflessioni finali
La gerarchia degli infiniti nei limiti offre una lente attraverso cui possiamo esaminare e comprendere la natura relativa delle funzioni e il loro comportamento all'infinito. Riconoscere che alcune funzioni crescono o decrescono a un ritmo significativamente diverso da altre non solo arricchisce la nostra comprensione matematica ma fornisce anche strumenti pratici per affrontare problemi in una varietà di discipline scientifiche.