Notazione degli insiemi: come indicare gli insiemi
Secondo la notazione matematica un insieme viene indicato con una lettera maiuscola dell’alfabeto mentre le lettere minuscole stanno a rappresentare i singoli elementi che compongono l’insieme stesso.
L’appartenenza o meno viene indicata rispettivamente coi simboli ∈, ∉ e si usa nel seguente modo:
a ∈ A ⇒ "l'elemento a appartiene all’insieme A"
a ∉ B ⇒ "l'elemento a non appartiene all’insieme B"
Per rappresentare gli elementi di un insieme si possono usare due notazioni delimitate dalle parentesi graffe:
Rappresentazione estensiva: Prevede di elencare uno a uno tutti gli elementi di un insieme separandoli con una virgola. Come si può intuire, all’aumentare degli elementi o se questi diventino infiniti questa notazione, oltre ad essere pesante, potrebbe non essere esaustiva.
Esempio 1: sia A l’insieme dei numeri naturali strettamente minori di 5:
A ≔ {0, 1, 2, 3, 4}
Esempio 2: sia B l’insieme dei numeri naturali strettamente maggiori di 10:
B ≔ {11, 12, 13, ...}
Si può notare che essa non è esaustiva e occorre l’utilizzo dei tre punti di sospensione per indicare che l’elencazione prosegue all’infinito.
Rappresentazione intensiva: Consiste nell’indicare tutti gli elementi di un insieme enunciando una o più proprietà tra essi in comune. A differenza della rappresentazione estensiva, è esauriente anche nel caso di insiemi infiniti di elementi e si presenta generalmente molto più leggera.
Esempio 3: riprendendo gli esempi precedenti, gli insiemi A e B si possono riscrivere come:
A ≔ {x tale che x è un numero naturale minore di 5}
B ≔ {x tale che x è un numero naturale maggiore di 10}
oppure più sinteticamente
A ≔ {x | x ∈ ℕ ⋀ x < 5}
B ≔ {x | x ∈ ℕ ⋀ x > 10}
Nota: è importante prestare attenzione e specificare l’insieme da cui prendiamo i nostri elementi. Nell’esempio 3 senza la condizione x ∈ ℕ non avremmo indicato gli stessi insiemi degli esempi 1 e 2 poiché, se non specificato, generalmente si assume come insieme di partenza quello dei numeri reali.
Esempio 4: dato C ≔ {x | x < 5} si ha che C ≠ A nell’esempio 3. Infatti preso un numero x ∈ ℝ ma x ∉ ℕ, ovvero x ∈ ℝ\ℕ, si ha che x ∈ C ⋀ x ∉ A; x potrebbe essere 2.5 o 𝜋.