Classificazione delle funzioni

Le funzioni possono essere classificate secondo diversi criteri. Per esempio, funzioni reali di variabile reale possono essere classificate in base alla propria espressione analitica: se nell’espressione analitica di una funzione sono presenti soltanto un numero finito di operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza a esponente razionale o estrazione di radice, si dice che la funzione è algebrica, altrimenti prende il nome di funzione trascendente.

Le funzioni algebriche si distinguono a loro volta in:

• Funzioni intere (o polinomiali), nelle quali la variabile indipendente non compare in alcun denominatore. Possono essere suddivise ulteriormente in funzioni polinomiali a coefficienti interi o frazionari.

Esempio 1: Una funzione polinomiale a coefficienti interi si presenta come la somma 

di più termini, numerici o elevamenti a potenza con esponente naturale dell’incognita

x, ma tutti con coefficiente intero, ossia appartenente a ℤ:

\(f(x) = x^5-3x^3+x^2-5x+7\)

Esempio 2:  Una funzione polinomiale a coefficienti frazionari si presenta come la

somma di più termini, numerici o elevamenti a potenza con esponente intero

dell’incognita x, ma i coefficienti appartengono all’insieme ℚ:

\(f(x) = \frac{1}{5}x^5+3x^3+x^2+\frac{5}{7}x+7\)

• Funzioni frazionarie (o fratte), nelle quali la variabile indipendente compare almeno una volta al denominatore.

Esempio 3: Una funzione polinomiale fratta è definita come la divisione tra due polinomi non nulli:

\(f(x) =\frac{5x}{x+7}\)

Nota: Le funzioni polinomiali intere sono particolari funzioni frazionarie dove però il polinomio al denominatore ha grado 0.

Sia le funzioni intere che quelle frazionarie ricadono nell’insieme delle funzioni razionali.

• Funzioni irrazionali, nelle quali la variabile indipendente compare almeno una volta sotto il segno di radice. Queste funzioni sono dette anche irrazionali e possono a loro volta essere suddivise in intere e frazionarie.

Esempio 4: Affinché una funzione sia irrazionale basta che un solo termine abbia l’incognita sotto radice:

\(f(x) =x^5-3x^3+x^2-5\sqrt{x}+7\)

\(g(x) =\frac{5x}{\sqrt{x+7}}\)

Le funzioni trascendenti si distinguono dalle funzioni algebriche per la presenza di espressioni logaritmiche, esponenziali o goniometriche in cui compare la variabile indipendente. Sono funzioni trascendenti anche le potenze a esponente irrazionale, ad esempio x2, in quanto è dimostrabile che tale funzione sia esprimibile con un infinito numero di operazioni algebriche elementari.

Esempio 5: Nelle funzioni logaritmiche la variabile indipendente compare solo nell’argomento di uno o più logaritmi:

 \(f(x) =\log{(x)}-\log{(x+2)}\)

Esempio 6: Nelle funzioni esponenziali la variabile indipendente compare solo come esponente:

\(f(x) =e^{x-3}\)

Esempio 7: Nelle funzioni goniometriche la variabile indipendente compare solo come argomento di una o più funzioni goniometriche:

\(f(x) =\sin^2(x)\)

Esempio 8: Le funzioni trascendenti possono essere anche miste:

\(f(x) =\frac{\log{(x)} + e^x}{\sin{(x)}}\)

Esempio 9: La presenza di funzioni trascendenti nell’espressione analitica di una funzione f(x), ad esempio le funzioni goniometriche, non implica che f(x) sia per forza una funzione trascendente:

\(f(x) =\frac{\sin^2{(x)}+\cos^2{(x)}}{x^2}\)

Nonostante siano presenti le due funzioni goniometriche seno e coseno, la funzione f(x), in base alla relazione trigonometrica fondamentale \(\sin^2{(x)}+\cos^2{(x)}=1\), si può riscrivere come:

\(f(x) =\frac{1}{x^2}\)

che è una funzione algebrica. Tuttavia, dato che questi sono casi particolari, è molto probabile che la presenza di una o più funzioni trascendenti renda l’espressione analitica generale trascendente.

Riassumendo, quindi, la classificazione delle funzioni reali di variabile reale si suddivide come segue: